接線の方程式

放物線 $y^2=4px\cdots\left(*\right)$ 上の点 $P\left(x_1, y_1\right)\left(\neq\left(0,0\right)\right)$ における接線の方程式

$\left(*\right)$ の両辺を $x$ で微分して

\begin{aligned} \frac{d}{dx}y^2&=\frac{d}{dx}4px\\ \frac{dy}{dx}\frac{d}{dy}y^2&=4p\\ \frac{dy}{dx}2y&=4p\\ \frac{dy}{dx}&=\frac{4p}{2y}\\&=\frac{2p}{y} \end{aligned}

よって、点 $P$ における $\left(*\right)$ の接線の方程式は

\begin{aligned} y-y_1&=\frac{2p}{y_1}\left(x-x_1\right)\\ y_1\left(y-y_1\right)&=2p\left(x-x_1\right)\\ y_1y-y_1^2&=2px-2px_1\\ y_1y&=2px-2px_1+y_1^2\\&=2px-2px_1+4px_1\left(\because y_1^2=4px_1\right)\\&=2p\left(x+x_1\right) \end{aligned}

$\left(*\right)$ の両辺を $x$ で微分して

\begin{aligned} \frac{d}{dx}\left(x^2+y^2\right)&=\frac{d}{dx}r^2\\ \frac{d}{dx}x^2+\frac{d}{dx}y^2&=0\\ 2x+\frac{dy}{dx}\frac{d}{dy}y^2&=0\\ \frac{dy}{dx}2y&=-2x\\ \frac{dy}{dx}&=\frac{-2x}{2y}\\&=-\frac{x}{y} \end{aligned}

よって、点 $P$ における $\left(*\right)$ の接線の方程式は

\begin{aligned} y-y_1&=-\frac{x_1}{y_1}\left(x-x_1\right)\\ y_1\left(y-y_1\right)&=-x_1\left(x-x_1\right)\\ y_1y-y_1^2&=-x_1x+x_1^2\\ x_1x+y_1y&=x_1^2+y_1^2\\&=r^2\left(\because x_1^2+y_1^2=r^2\right) \end{aligned}

$\left(*\right)$ の両辺を $x$ で微分して

\begin{aligned} \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)&=\frac{d}{dx}1\\ \frac{d}{dx}\frac{x^2}{a^2}+\frac{d}{dx}\frac{y^2}{b^2}&=0\\ \frac{2x}{a^2}+\frac{dy}{dx}\frac{d}{dy}\frac{y^2}{b^2}&=0\\ \frac{dy}{dx}\frac{2y}{b^2}&=-\frac{2x}{a^2}\\ \frac{dy}{dx}&=-\frac{2x}{a^2}\cdot\frac{b^2}{2y}\\&=-\frac{b^2x}{a^2y} \end{aligned}

よって、点 $P$ における $\left(*\right)$ の接線の方程式は

\begin{aligned} y-y_1&=-\frac{b^2x_1}{a^2y_1}\left(x-x_1\right)\\ a^2y_1\left(y-y_1\right)&=-b^2x_1\left(x-x_1\right)\\ a^2y_1y-a^2y_1^2&=-b^2x_1x+b^2x_1^2\\ b^2x_1x+a^2y_1y&=b^2x_1^2+a^2y_1^2\\ \frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}&=\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}\\&=1\left(\because \frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1\right) \end{aligned}

$\left(*\right)$ の両辺を $x$ で微分して

\begin{aligned} \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\right)&=\frac{d}{dx}1\\ \frac{d}{dx}\frac{x^2}{a^2}-\frac{d}{dx}\frac{y^2}{b^2}&=0\\ \frac{2x}{a^2}-\frac{dy}{dx}\frac{d}{dy}\frac{y^2}{b^2}&=0\\ \frac{dy}{dx}\frac{2y}{b^2}&=\frac{2x}{a^2}\\ \frac{dy}{dx}&=\frac{2x}{a^2}\cdot\frac{b^2}{2y}\\ \frac{dy}{dx}&=\frac{b^2x}{a^2y} \end{aligned}

よって、点 $P$ における $\left(*\right)$ の接線の方程式は

\begin{aligned} y-y_1&=\frac{b^2x_1}{a^2y_1}\left(x-x_1\right)\\ a^2y_1\left(y-y_1\right)&=b^2x_1\left(x-x_1\right)\\ a^2y_1y-a^2y_1^2&=b^2x_1x-b^2x_1^2\\ b^2x_1x-a^2y_1y&=b^2x_1^2-a^2y_1^2\\ \frac{x_1x}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}&=\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}\\&=1\left(\because \frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1\right) \end{aligned}