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数学B シグマ公式と数列

数学
高校数学

作成日 2022年5月7日土曜日

更新日 2025年3月13日木曜日

シグマ公式

∑k=1nk=12n(n+1)\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1) ∑k=1nk2=16n(n+1)(2n+1)\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) ∑k=1nk3={12n(n+1)}2\sum_{k=1}^{n}k^3=\Big\{\frac{1}{2}n(n+1)\Big\}^2 ∑k=1nrk−1=rn−1r−1=1−rn1−r\sum_{k=1}^{n}r^{k-1}=\frac{r^n-1}{r-1}=\frac{1-r^n}{1-r}

等差数列の一般項と和

an=a+(n−1)d=dn+a−da_n=a+(n-1)d=dn+a-d ∑k=1nak=∑k=1n(dk+a−d)=d∑k=1nk+n(a−d)=d×12n(n+1)+n(a−d)=n2(2a+(n−1)d)\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}a_k&=\sum_{k=1}^{n}(dk+a-d) \\&=d\sum_{k=1}^{n}k+n(a-d) \\&=d\times\frac{1}{2}n(n+1)+n(a-d) \\&=\frac{n}{2}(2a+(n-1)d) \end{aligned}

等比数列の一般項と和

bn=b×rn−1b_n=b\times r^{n-1} ∑k=1nbk=∑k=1n(b×rk−1)=b∑k=1nrk−1=b(rn−1)r−1\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}b_k&=\sum_{k=1}^{n}(b\times r^{k-1}) \\&=b\sum_{k=1}^{n}r^{k-1} \\&=\frac{b(r^n-1)}{r-1} \end{aligned}