点と直線の距離の導出

点と直線の距離

点 $(x_1,y_1)$ と直線 $ax+by+c=0$ の距離 $d$ は

$$d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

導出

点 $P(x_1,y_1)$ と直線 $l:ax+by+c=0$ の距離 $d$ を求める。

点 $P$ と直線 $l$ を $x$ 軸方向に $-x_1$ 、 $y$ 軸方向に $-y_1$ だけ平行移動する。このとき、点 $P$ は原点 $O$ に、直線 $l$ はそれと平行な直線に移る。この $l$ が移った先の直線を $l'$ とする。

直線 $l'$ の方程式を求める。

$$\begin{aligned} a\left\{x-(-x_1)\right\}+b\left\{y-(-y_1)\right\}+c&=0\\ \Leftrightarrow ax+by+(ax_1+by_1+c)&=0 \end{aligned}$$

求める距離 $d$ は、原点 $O$ と直線 $l'$ の距離に等しいのでこれを求める。

$c'=ax_1+by_1+c$ とする。 このとき、直線 $l'$ の方程式は $ax+by+c'=0$ となる。

原点を通って直線 $l'$ に垂直な直線は $bx-ay=0$ となる。この直線と直線 $l'$ の交点 $H(x_0,y_0)$ を求める。

$(x_0,y_0)$ は以下の連立方程式の解なので、これを解く。以下、 $a\neq0$ かつ $b\neq0$ であることに注意する。

$$\begin{aligned} \begin{cases} ax+by+c'=0&\cdots(1)\\ bx-ay=0&\cdots(2) \end{cases} \end{aligned}$$

$(2)$ 式を $y$ について解く。

$$\begin{aligned} bx-ay&=0\\ \Leftrightarrow y&=\frac{b}{a}x&\cdots(3) \end{aligned}$$

これを $(1)$ 式に代入して $x$ について解く。

$$\begin{aligned} ax+by+c'&=0\\ \Leftrightarrow ax+b\cdot\frac{b}{a}x+c'&=0\\ \Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{a}x&=-c'\\ \Leftrightarrow x&=-\frac{ac'}{a^2+b^2} \end{aligned}$$

これを $(3)$ 式に代入する。

$$\begin{aligned} y&=\frac{b}{a}x\\ &=\frac{b}{a}\cdot\left(-\frac{ac'}{a^2+b^2}\right)\\ &=-\frac{bc'}{a^2+b^2} \end{aligned}$$

以上より、 $(x_0,y_0)=\left(-\frac{ac'}{a^2+b^2},-\frac{bc'}{a^2+b^2}\right)$ である。

求める距離 $d$ は距離 $OH$ と等しいのでこれを求める。

$$\begin{aligned} OH&=\sqrt{x_0^2+y_0^2}\\ &=\sqrt{\left(-\frac{ac'}{a^2+b^2}\right)^2+\left(-\frac{bc'}{a^2+b^2}\right)^2}\\ &=\sqrt{\frac{(a^2+b^2)c'^2}{(a^2+b^2)^2}}\\ &=\sqrt{\frac{c'^2}{a^2+b^2}}\\ &=\frac{|c'|}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{aligned}$$

よって、求める距離 $d$ は以下のようになる。

$$\begin{aligned} d&=\frac{|c'|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ &=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{aligned}$$